2024年浙江省成人高考专升本《高数二》备考笔记（13）

极值存在的必要和充分条件

考点一 极值存在的必要条件

设点P₀(x₀,y₀)为z=f(x,y)的极值点，且z=f(x,y)在点P₀(x₀,y₀)处的偏导存在，则必有fₓ(x₀,y₀)=0，fᵧ(x₀,y₀)=0.

考点二 极值存在的充分条件

设函数z=f(x,y)在其驻点(x₀,y₀)的某个邻域内有二阶的连续偏导数，令A=fₓₓ(x₀,y₀)，Bₓ(x₀,y₀)，C=fᵧᵧ(x₀,y₀)，△=B²-AC，于是有

(1)如果△<0，则点(x0,y0)是函数的极值点，且

当A<0时(x₀,y₀)是极大值;当A>0时，f(x₀,y₀)是极小值。

(2)如果△>0，则点(x₀,y₀)不是函数的极值点.

(3)如果△=0，则函数z=f(x,y)在点(x₀,y₀)有无极值不能确定，需用其他方法判别.